Question

【题目】如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以B为圆心、1为半径作圆，设点P为⊙B上一点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA、PD、PB．

（1）求证：AD=BP；

（2）若DP与⊙B相切，则∠CPB的度数为　　　　　　；

（3）如图2，当B、P、D三点在同一条直线上时，求BD的长；

（4）BD的最小值为　　　　　　；BD的最大值为　　　　　　．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）∠CPB=45°或135°；（3）；（4）1，3．

【解析】分析: （1）根据SAS即可证明△ACD≌△BCP，再根据全等三角形的性质可得AD＝BP；

（2）利用切线的性质结合等腰直角三角形得出即可；

（3）当B、P、D三点在同一条直线上时利用勾股定理，可得BD的长；

（4）当∠PBC＝45°时，BD有最小值；进而得出BD有最大值．

详解: （1）证明：如图1，

∵∠ACB＝90°，∠DCP＝90°，

∴∠ACD＝∠BCP

在△ACD与△BCP中，

∵

AC＝BC

∠ACD＝∠BCP

CD＝CP

∴△ACD≌△BCP（SAS）

∴AD＝BP；

（2）解：如图2，

∵CP＝CD，DP是⊙B的切线，∠PCD＝90°，

∴∠BPD＝90°，∠ADP＝∠APD＝45°，

∴∠CPB＝45°＋90°＝135°，

同理可得：∠CPB＝45°

故∠CPB＝45°或135°；

故答案为：故∠CPB＝45°或135°；

（3）解：∵△CDP为等腰直角三角形，

∴∠CDP＝∠CPD＝45°，∠CPB＝135°，

由（1）知，△ACD≌△BCP，

∴∠CDA＝∠CPB＝135°，AD＝BP＝1，

∴∠BDA＝∠CDA∠CDP＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝＝2，

∴BD＝＝；

（4）解：如图3，

当B、D、A三点在同一条直线上时，BD有最小值，

由（1）得△ACD≌△BCP，

此时∠PBC＝45°时，BD的最小值为1；

同理可得：如图4，

当B、D、A三点在同一条直线上时，

由（1）得△ACD≌△BCP，BD的最大值为：AB＋AD＝AB＋BP＝3.

故答案为：1，3．

点睛: 此题考查了圆的综合题，涉及的知识有全等三角形的判定与性质，分类思想的运用，最大值与最小值，注意分析问题要全面，以免漏解，有一定的难度．