Question

如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2

5

个单位长度．点P为直线y=-x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．
（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；
（2）求点P的坐标；
（3）如图乙，若直线y=-x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；
（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=-x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用切线的性质和切线长定理可判定出四边形OCPD为正方形；
（2）设P点坐标为（x，-x+8），在Rt△OCP中利用勾股定理得到关于x的方程，求解即可；
（3）设直线y=-x+b与圆交与点E，F，由条件可知∠EOF为90°，可求出OE=OF，进一步可求得b的值；
（4）设向右移动⊙O到O′时，⊙O与直线y=-x+8相切，切点为D，根据相切时圆心O的横坐标即可求得⊙O与直线y=-x+8相交时圆心O的横坐标m的取值范围．

解答：解：（1）四边形OCPD是正方形．证明过程如下：
如图甲，连接OC、OD，
∵PC、PD是⊙O的两条切线，
∴∠PCO=∠PDO=90°．
又∵PC⊥PD，
∴四边形OCPD是矩形，
又∵OC=OD，
∴四边形OCPD是正方形；

（2）如图甲，过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OP．
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=

1

2

∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴OD=PD=2

5

，OP=2

10

，
∵P在直线y=-x+8上，设P（m，-m+8），则OF=m，PF=-m+8，
∵∠PFO=90°，OF²+PF²=PO²，
∴m²+（-m+8）²=（2

10

）²，
解得m=2或6，
∴P的坐标为（2，6）或（6，2）；

（3）设直线y=-x+b与圆交与点E，F，
若直线y=-x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，
则∠EOF=90°，
∴OE=OF=|b|，
∴|b|=2

5

，
解得b=±2

5

；

（4）设向右移动⊙O到O′时，⊙O′与直线y=-x+8相切，切点为D，如图3，

∴O′D⊥AB，
由直线y=-x+8可知A（8，0），B（0，-8），
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴△O′AD是等腰直角三角形，
∴O′D=AD=2

5

，
∴O′A=2

10

，
∴OO′=8-2

10

或8+2

10

，
∴当⊙O与直线y=-x+8相交时圆心O的横坐标m的取值范围为：8-2

10

≤m≤8+2

10

．

点评：本题主要考查圆的切线的性质及直线和圆的位置关系、正方形的判定和性质等知识的综合应用，掌握切线的性质及特殊四边形的判定方法是解题的关键，注意相切时，有圆在直线的左侧和右侧两种情况．