Question

【题目】设二次函数y=ax2+bx+a-5（a、b为常数，a≠0），且2a+b=3.

（1）若该二次函数的图象经过点（-1,4），求该二次函数的解析式.

（2）无论a取何常数，这个二次函数的图象始终经过一个定点，求出这个定点坐标.

（3）已知点P（x0,m）和Q（1，n）都在二次函数的图象上，若x0＜1,且m>n，求x0的取值范围（用含a的代数式表示）。

Answer 1

【答案】（1）y=3x2-3x-2；（2）（1，-2）；（3）（a>0）

【解析】

（1）将点（-1，4），即可求该二次函数的表达式
（2）将2a+b=3代入二次函数y=ax2+bx+a-5（a，b为常数，a≠0）中，整理得y=[ax2+（3-2a）x+a-3]-2=（ax-a+3）（x-1）-2，可知恒过点（1，2）；
（3）通过y=ax2+（3-2a）x+a-5，可求得对称轴为 ，因为x0＜1，且m＞n，所以只需判断对称轴的位置即可求x0的取值范围．

解：（1）∵函数y=ax2+bx+a-5的图象经过点（-1，4），且2a+b=3，

∴二次函数的解析式为y=3x2-3x-2；
（2）∵2a+b=3，
∴二次函数y=ax2+bx+a-5=ax2+（3-2a）x+a-5，
整理得，y=[ax2+（3-2a）x+a-3]-2=（ax-a+3）（x-1）-2
∴当x=1时，y=-2，
∴这个二次函数的图象始终经过一个定点，这个定点坐标为（1，-2）；
（3）∵y=ax2+（3-2a）x+a-5，

∴对称轴为

∵x0＜1，且m＞n，
∴当a＞0时，对称轴

解得：

当a＜0时，对称轴

解得：（不符合题意，故x0不存在）

故x0的取值范围为：