Question

【题目】车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行使到和路的边界夹角是45°的位置(如图1中②的位置)，例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过．

(1)试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；

(2)为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧(分别是以O为圆心，以OM和ON为半径的弧)，具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON的最小值．

Answer 1

【答案】(1)消防车不能通过该直角转弯；(2)ON至少为4.5米．

【解析】

（1）过点F作FH⊥EC于点H，根据道路的宽度求出FH=EH=4m，然后根据等腰直角三角形的性质求出EF、GE的长度，相减即可得到GF的长度，如果不小于车身宽度，则消防车能通过，否则，不能通过；
（2）假设车身C、D分别与点M′、M重合，根据等腰直角三角形的性质求出OG=CD=4，OC=CG=4，然后求出OF的长度，从而求出可以通过的车宽FG的长度，如果不小于车宽，则消防车能够通过，否则，不能通过；设ON=x，表示出OC=x+4，OG=x+3，又OG=CD=4，在Rt△OCG中，利用勾股定理列式进行计算即可求出ON的最小值．

解：(1)消防车不能通过该直角转弯．

理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H，

∵FH=EH=4，

∴EF=4，且∠GEC=45°，

∵GC=4，

∴GE=GC=4，

∴GF=4﹣4＜3，

即GF的长度未达到车身宽度，

∴消防车不能通过该直角转弯.

(2)若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，

∴OG=4，OM=4，

∴OF=ON=OM﹣MN=4﹣4，

∴FG=OG﹣OF=×8﹣(4﹣4)=8﹣4＜3，

∴C、D在上，

设ON=x，连接OC，在Rt△OCG中，

OG=x+3，OC=x+4，CG=4，

由勾股定理得，OG2+CG2=OC2，

即(x+3)2+42=(x+4)2，

解得x=4.5．

答：ON至少为4.5米．