Question

13．如图，矩形ABCD的边长AB=2cm，BC=5cm，两动点P、Q分别同时从点D、B出发，以1cm/s的速度沿边DA、BC方向向点A、C运动（端点不计），设运动时间为t（s），连接AQ、DQ，过点P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）当P刚好为AD的中点时，求证：△APE≌△PDF；
（2）①当P，Q出发后2.5s时，四边形PEQF为菱形；
②当P，Q出发后1或4s时，四边形PEQF为矩形．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证得结论；
（2）①平行四边形PEQF为菱形，则PF=PE，根据全等三角形的性质来推知点P是AD的中点，易求其运动时间；
②由于四边形PEQF是矩形，那么∠EQF=90°，即∠AQB+∠DQC=90°，而∠AQB+∠QAB=90°，易得∠DQC=∠QAB，结合∠B=∠C=90°，易证△ABQ∽△QCD，进而得解．

解答 解：（1）∵点P是AD的中点，
∴AP=PD．
∵PE∥DQ，
∴∠APE=∠PDF，
∵PF∥AQ，
∴∠PAE=∠DPF，
∴在△APE与△PDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠PDF}\\{AP=PD}\\{∠PAE=∠DPF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△PDF（ASA）；
（2）∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴四边形PEQF是平行四边形
①当P，Q出发后 2.5s时，四边形PEQF为菱形，理由如下：
∵平行四边形PEQF是菱形，
∴PF=PE．
∵PE∥DQ，
∴∠APE=∠PDF，
∵PF∥AQ，
∴∠DPF=∠PAE，
∴△APE∽△PDF，
∴AP=PD，
∴PD=2.5cm，
∴t=2.5s；
（3）∵四边形PEQF是矩形，
∴∠EQF=90°，
∴∠AQB+∠DQC=90°，
又∵∠AQB+∠QAB=90°，
∴∠DQC=∠QAB，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABQ∽△QCD，
∴$\frac{AB}{CQ}$=$\frac{BQ}{DC}$，
设运动时间为t秒，则：BQ=5-t，则CQ=t，
即$\frac{2}{t}$=$\frac{5-t}{2}$，
∴t²-5t+4=0，
解得：t=1或t=4．

点评 本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理、解一元二次方程、菱形性质、矩形性质，可先假设是菱形、矩形，再根据菱形、矩形的性质进行解答．