Question

【题目】(本题满分9分)

刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，，，；图②中，，，．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动．在移动过程中，、两点始终在边上(移动开始时点与点重合)．

(1)在沿方向移动的过程中，刘卫同学发现：、两点间的距离逐渐 ▲ ．

(填“不变”、“变大”或“变小”)

(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当移动至什么位置，即的长为多少时，、的连线与平行?

问题②：当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形?

问题③：在的移动过程中，是否存在某个位置，使得?如果存在，

求出的长度；如果不存在，请说明理由．

请你分别完成上述三个问题的解答过程．

Answer 1

【答案】（1）变小

（2）

①cm时，

②当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形

③不存在这样的位置，使得

【解析】

（1）变小

（2）问题①：解：∵，，，

∴.

∵,,

∴.

连结，设.

∴,在中，DC=4.

∴=12-4.

即cm时，

问题②：解：设当，

在中，.

（Ⅰ）当为斜边时，由得，,.

(Ⅱ)当为斜边时，由得，,（不符合题意，舍去）.

(Ⅲ)当为斜边时，由得，,,

=144-248<0,

∴方程无解.

∴由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)得，

当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形.

问题③不存在这样的位置，使得.

假设，由,得.作的平分线，交于,

则,

∴.

∴,.

∴.

∴不存在这样的位置，使得.