Question

5．如图，在△ABC中，AD是高，矩形EFGH的顶点H、G分别在AB、AC上，EF在BC上，AD与HG的交点为M．若BC=40cm，AD=30cm，且HG=2HE．则矩形EFGH的周长为72cm．

Answer 1

分析 根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可证出比例式$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$，根据比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．

解答 解：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$，
设HE=xcm，MD=HE=xcm，
∵AD=30cm，
∴AM=（30-x）cm，
∵HG=2HE，
∴HG=（2x）cm，
可得$\frac{30-x}{30}=\frac{2x}{40}$，
解得，x=12，
故HG=2x=24
所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．
故答案为：72．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．