Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持ED⊥FD，连接DE，DF，EF，在此运动变化的过程中，有下列结论：
①AE=CF；
②EF最大值为2$\sqrt{2}$；
③四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为$\sqrt{2}$．
其中结论正确的有①③④（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

Answer 1

分析 ①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，即可证得AE=CF；
②根据AE=CF，设CE=x，用含x的式子表示出CF的长，根据勾股定理，即可表示出EF的长，根据二次函数的增减性，表示出EF的最小值；
③由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变；
④由①可知，DE=EF，可得△DEF是等腰直角三角形，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．

解答 解：如图，连接CD．
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵D是AB的中点，
∴CD=AD=BD，∠ADC=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠1+∠2=90°，
∵ED⊥FD，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF=45°}\\{AD=CD}\\{∠1=∠3}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF；
故①正确；
（2）设CE=x，则CF=AE=4-x，
在Rt△CEF中，$EF=\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}=\sqrt{2（x-2）^{2}+8}$，
∵2（x-2）²+8有最小值，最小值为8，
∴EF有最小值，最小值为$2\sqrt{2}$．
故②错误；
③由①知，△ADE≌△CDF，
∴S_{四边形EDFC}=S_△EDC+S_△FDC=S_△EDC+S_△ADE=S_△ADC，
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．
故③正确；
④由①可知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴$EF=\sqrt{2}DE$，
当EF∥AB时，∵AE=CF，
∴E，F分别是AC，BC的中点，
故EF是△ABC的中位线，
∴EF取最小值=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∵CE=CF=2，
∴此时点C到线段EF的最大距离为$\frac{1}{2}EF=\sqrt{2}$．
故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、二次函数的增减性的综合应用，作出辅助线，构造全等的三角形是解决第①小题的关键；也是解决其他题目的基础．