Question

4．如图，D是∠MAN内部一点，点B是射线AM上一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE=DF，在射线AN上取一点C，使得DC=DB，问∠ABD与∠ACD有什么数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 分两种情况：当点C在线段AF上，Rt△DEB≌Rt△DFC，可证得∠ABD=∠ACD；当点C在线段AF的延长线上时，Rt△DEB≌Rt△DFC，可证得∠ABD+∠ACD=180°．

解答 解：∠ABD=∠ACD或∠ABD+∠ACD=180°；
分两种情况：
①如图1，当点C在线段AF上时，
∵DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴∠DBE=∠DCF，
∴∠ABD=∠ACD；
②如图2，当点C在线段AF的延长线上时，
同理可证Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴∠DBE=∠DCF，
∵∠DBE+∠ABD=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全面思考问题，意识到有两种情形是正确解答的关键．