Question

16．如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是（　　）

• A． ①②④
• B． ②③④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE=CF，判断出②正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出④错误．

解答 解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠B}&{\;}\\{AD=BD}&{\;}\\{∠ADF=∠BDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
故③正确；
∴DE=DF、BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正确；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∴AE=CF，
故②正确；
∵BE+CF=AF+AE
∴BE+CF＞EF，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③；
故选：C．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．