Question

1．以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画$\widehat{BC}$交AB于点D，且∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，点P是$\widehat{BC}$上的一个动点．

（1）判定△ADC的形状，并说明理由；
（2）若∠A=70°，∠ABC=30°，BP平分∠ABC时，求∠ACB和∠ACP的度数；
（3）是否存在这样位置的P点和AB上一点M，使得△BMP和△BPC相似？若存在，请在备用图中画出所有符合条件的图形（并说明点P和点M的位置）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和为180°与邻补角的性质，即可求得∠ACD=∠ADC，又由等角对等边，即可求得△ADC是等腰三角形；
（2）利用三角形的内角和定理，可得∠ACB=80°，根据已知即可求得∠BPC=∠BDC=125°，然后可得∠PCB与∠ACP的度数；
（3）由当点P运动至$\widehat{CD}$的中点时，△BMP和△BPC相似，可得∠ABP=∠CBP，即可设∠A=x°，∠ABP=∠CBP=y°，利用方程式可得∠PCB=∠ACP，即可得到∠BMP=∠CNP=90°+$\frac{1}{2}$x°=∠BPC，即可求解．

解答 解：（1）△ADC是等腰三角形．
理由为：∵∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠ADC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠ACD=90°+$\frac{1}{2}$∠A-∠A=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．
（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$×70°=125°，
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．
（3）当点P运动至$\widehat{CD}$的中点时，△BMP∽△BPC．
∵P运动至$\widehat{CD}$的中点，
∴∠ABP=∠CBP，
设∠A=x°，∠ABP=∠CBP=y°，
∴∠PCB=180°-y°-（90°+$\frac{1}{2}$x°）=90°-y°-$\frac{1}{2}$x°，
∵∠ACB=180°-x°-2y°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180°-x°-2y°）-（90°-y°-$\frac{1}{2}$x°）=90°-y°-$\frac{1}{2}$x°，
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至$\widehat{CD}$的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点．
∴AP平分∠BAC．
如图，连接AP，过点P作PM⊥AB交AB于点M，

∴∠BMP=∠CNP=90°+$\frac{1}{2}$x°=∠BPC，
∴△BMP∽△BPC．

点评 本题考查了三角形内角和定理，邻补角的性质以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．