Question

四边形ABCD为正方形（四边相等，四角为直角），点P为直线DC上一点，连接AP作等腰Rt△APQ，AP⊥AQ（其中A、P、Q按逆时针排列），直线CQ交直线AD于M点．
（1）如图①，点P在DC边上时，线段DM和CP之间是否存在某种确定的数量关系？写出你的结论并证明；
（2）如图②，点P在DC的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立：证明你的结论；
（3）如图③，点P在CD的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请你完成图③，并直接写出你的结论，不需要证明．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）过点Q作QN⊥AD于点N，然后推出△ANQ≌△PDA，进而得到△QMN≌△CMD，最后通过等量代换得到结论；
（2）过点Q作QN⊥AD于点N，然后推理方法同（1）；
（3）先根据题意把图补充完整，再写出和前面一样的结论，理由同前面两问．

解答：解：（1）DM=

1

2

CP，理由如下：
如图1所示，过点Q作QN⊥AD于点N，
因为△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ=AP，
∵∠QAN+∠DAP=90°，∠APD+∠DAP=90°，
在△ANQ和△PDA中，

∠ANQ=∠ADP=90°   ∠QAN=∠APD   AQ=AP

，
∴△ANQ≌△PDA，
∴AN=PD，QM=AD=CD，
∵AD=CD，
∴ND=CP，
在△QMN和△CMD中，

∠QNM=∠CDM=90°   ∠QMN=∠CMD   QM=CD

，
∴△QMN≌△CMD，
∴MN=MD，
∴DM=

1

2

ND=

1

2

CP；

（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图2所示，过点Q作QN⊥AD于点N，
∵∠QAN+∠NAP=90°，∠APD+∠NAP=90°，
∴∠QAN=∠APD，
在△ANQ和△PDA中，

∠ANQ=∠PDA=90°   ∠QAN=∠APD   AP=AQ

，
∴△ANQ≌△PDA，
∴AN=PD，QN=AD=CD，
∵AD=CD，
∴ND=CP，
在△QMN和△CMD中，

∠QMN=∠CMD   ∠CDM=∠QNM=90°   QN=CD

，
∴△QMN≌△CMD，
∴MN=MD，
∴MD=

1

2

ND=

1

2

CP；

（3）（1）中的结论仍然成立，
如图3所示，MD=

1

2

CP．理由如下：
过点Q作QN⊥AD于点N，
∵∠NAQ+∠PAD=90°，∠APD+∠PAD=90°，
∴∠NAQ=∠APD，
在△ANQ和△PDA中，

∠QNA=∠PDA=90°   ∠NAQ=∠APD   AQ=AP

，
∴△ANQ≌△PDA，
∴AN=PD，QN=AD=CD，
在△QMN和△CMD中，

∠QNM=∠CDM=90°   ∠QMN=∠CMD   QN=CD

，
∴△QMN≌△CMD，
∴MN=MD=

1

2

ND，
∵PD=AN，
∴MD=

1

2

(PD+CD)=

1

2

PC．

点评：该题目考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，知识点比较多，关键是猜想出两个线段之间的数量关系，然后才能转化为寻求三角形全等来进行解决．