Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是线段CD上的动点.

(1)如图1，若CF=CD，求证：ΔAEF是直角三角形；

(2)如图2，若点F与点D重合，点G在ED上，且AG=AD，求证：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，设出边长为a，进一步利用勾股定理求得AE、EF、AF的长，再利用勾股定理逆定理判定即可；

（2）过点A作AH⊥GD，垂足为H，因为AG=AD，所以GH=HD，根据勾股定理表示出AE2、AH2，代入即可得出结论.

解：（1）设正方形ABCD的边长为a，则

∵

∴

∴△AEF是以E为直角顶点的直角三角形

（2）如图，过点A作AH⊥GD，垂足为H，

∵AG=AD

∴GH=HD

在Rt△AEH中：

在Rt△ADH中：

∴