Question

17．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，0）
（1）求该函数的关系式．
（2）根据图象，写出函数y为正数时，自变量x的取值范围．
（3）若将该函数图象沿x轴向右平移，当图象经过原点时，求平移后抛物线的关系式．

Answer 1

分析 （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a （x-2）²+1，然后把（-1，-8）代入求出a即可；
（2）求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质即可求得．
（3）设平移后的解析式为y=-$\frac{4}{9}$（x+1-h）²+4，代入（0，0）求得h即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a （x+1）²+4，
把B（2，0）代入得a•（2+1）²+4=0，
解得a=-$\frac{4}{9}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{4}{9}$（x+1）²+4=-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{8}{9}$x+$\frac{32}{9}$；
（2）令y=0，则-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{8}{9}$x+$\frac{32}{9}$=0，
解得x₁=4，x₂=-2，
∵a=-$\frac{4}{9}$，
∴开口向下，
∴函数y为正数时，自变量x的取值范围-2＜x＜4；
（3）设平移后的解析式为y=-$\frac{4}{9}$（x+1-h）²+4，
∵经过原点，
∴-$\frac{4}{9}$（1-h）²+4=0，
解得h=-2或h=4，
∵平移后抛物线的关系式为y=-$\frac{4}{9}$（x-3）²+4．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．