Question

5．“8字”的性质及应用：
（1）如图①，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）图②中共有多少个“8字”？
（3）如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明∠E=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C）．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等解答即可；
（2）根据题中给出的“8字”的概念解答即可；
（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可．

解答 解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，又∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）图②中有：ABCD、BECD、ABED，3个“8字”；
（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠CDE=∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵∠A+∠ABE=∠E+∠ADE，∠C+∠CDE=∠E+∠CBE，
∴∠E=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C）．

点评 本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质和对顶角相等的综合运用，掌握三角形内角和等于180°和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．