Question

已知关于x的一元二次方程（a²+1）x²-2（a+b）x+b²+1=0．
（1）当b=2时，方程有一个实数根为2，求a的取值范围；
（2）若此方程有实数根，当2＜a＜6时，求b的取值范围．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）把x=2，b=2代入方程得出4（a²+1）-4（a+2）+5=4a²-4a+1=0，解方程求得a的值即可；
（2）根据根的判别式得出△=4（a+b）²-4（a²+1）（b²+1）≥0，进一步整理得出a、b的关系，代换求得b的取值范围即可．

解答：解：（1）把b=2，x=2代入方程得4（a²+1）-4（a+2）+4+1=0，
解得a₁=a₂=

1

2

，
即a的值为

1

2

；
（2）根据题意得△=4（a+b）²-4（a²+1）（b²+1）≥0，
∴（ab）²-2ab+1≤0，即（ab-1）²≤0，
∴ab-1=0，
∴a=

1

b

，
∵2＜a＜6，
∴

1

6

＜b＜

1

2

．

点评：此题主要考查一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，理解和掌握基础知识是解决问题的关键．