Question

【题目】如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N.试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；

(2)仔细观察，在图2中“8字形”有多少个；

(3)图2中，当∠D＝50°，∠B＝40°时，求∠P的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B; （2）有6个;（3）∠P=45°；

【解析】

（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；

（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②，可得2∠P=∠D+∠B，进而求出∠P的度数；

(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，

∴∠A+∠D=∠C+∠B;

(2)①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；

②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；

③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；

④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；

⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；

⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6个;

(3)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,

即2∠P=∠D+∠B，

又∵∠D=50°，∠B=40°，

∴2∠P=50°+40°，

∴∠P=45°；