Question

19．如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，⊙O的半径0D、OE分别交BC、CA于点F、G，∠DOE=120°．探索四边形0FCG的面积（图中阴影部分）与△ABC面积之间的数量关系，并说明理由（提示：连接0B、OC）

Answer 1

分析 连接OA，OB，证明△AOC≌△COB≌△BOA，求出∠AOC以及∠DOE之间的关系即可．

解答 解：S_{四边形OFCG}=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
理由：连接OA，OB和OC，则
∵△ABC是等边三角形，
∴△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2；
∴∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，
∴∠3=∠5．
在△OAG和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠2=∠1\\ OA=OC\\∠3=∠5\end{array}\right.$，
∴△OAG≌△OCF（ASA），
∴S_△OAG=S_△OCF，
∴S_△OAG+S_△OGC=S_△OCF+S_△OGC，即S_{四边形OFCG}=S_△OAC=$\frac{1}{3}$S_△ABC．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．