Question

11．在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，CB=CD．
（1）如图1，求证：AC平分∠BAD；
（2）如图2，连接BD交AC于点E，在AB延长线上取一点M（点M不在直线CD上），连接MC，过D作DN⊥BD交MC延长线于点N，若∠ABD=90°，试探究线段AD、AM、DN之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证明A、B、C、D四点共圆，由CB=CD，得出$\widehat{CB}=\widehat{CD}$，得出∠BAC=∠DAC，即可得出结论；
（2）分两种情况：①在AD上截取AF=AM，连接CF，先证明△ACF≌△ACM，得出∠AFC=∠AMC，得出∠CFD=∠1，由A、B、C、D四点共圆，得出∠ACD=∠ABD=90°，∠DAC=∠BDC再证明△CDF≌△CDN，得出DF=DN，即可得出结论；②解法同①．

解答 （1）证明：∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵CB=CD，
∴$\widehat{CB}=\widehat{CD}$，
∴∠BAC=∠DAC，
即AC平分∠BAD；
（2）解：分两种情况：
①如图1所示：AD=AM+DN；理由如下：
在AD上截取AF=AM，连接CF，
在△ACF和△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}&{\;}\\{∠CAF=∠CAM}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACM（SAS），
∴∠AFC=∠AMC，
∴∠CFD=∠1，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD=90°，∠DAC=∠BDC，
∴∠ADC+∠DAC=90°，
∵DN⊥BD，∠ABD=90°，
∴∠BDN=90°，DN∥AM，
∴∠CDN+∠BDC=90°，∠CND=∠1，
∴∠ADC=∠CDN，∠CFD=∠CND，
在△CDF和△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠CND}&{\;}\\{∠CDF=∠CDN}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CDN（AAS），
∴DF=DN，
∴AF+DF=AM+DN，
即AD=AM+DN；
②如图2所示：AD=AM-DN；理由如下：
在AD上截取AF=AM，连接CF，
同①得：DF=DN，
∵AD+DF=AM，
∴AD=AM-DN．

点评 本题考查了四点共圆、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质；证明三角形全等和四点共圆是解决问题的关键．