Question

5．如图，直线EF：y=$\frac{3}{4}$x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（-6，0），点P（x，y）是直线y=$\frac{3}{4}$x+6上一个动点．
（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；
（2）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，求此时点P的坐标；
（3）过点P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，请画草图，并直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式求出点E坐标，分点P在E点上方或下方两种情况讨论．三角形OPA面积等于$\frac{1}{2}$×OA×（±y_p）．
（2）将S=9代入（1）求得的一次函数解析式，即可求出点P的坐标．
（3）根据△COD≌△FOE，可知：OD=OE=8，OC=OF=6，因此求出C、D两点坐标，求出CD解析式，联立直线EF即可求出点P坐标．

解答 解：（1）令x=0，y=6，
∴F（0，6）．
令y=0，x=-8，
∴E（-8，0）．
当点P在x轴上方时，如下左图：此时，x＞-6，
设P（x，$\frac{3}{4}$x+6），
则S=$\frac{1}{2}$×OA×y_p，
=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{3}{4}$x+6），
=$\frac{9}{4}$x+18．
当点P在x轴下方时，如下备用图，此时，x＜-6，
设P（x，$\frac{3}{4}$x+6），
则S=$\frac{1}{2}$×OA×（-y_p），
=$\frac{1}{2}$×6×（-$\frac{3}{4}$x-6），
=-$\frac{9}{4}$x-18．
综上所述：S=$\frac{9}{4}$x+18．（x＞-6），S=-$\frac{9}{4}$x-18．（x＜-6）．


（2）令S=9代入S=$\frac{9}{4}$x+18得：x=-4，
将x=-4代入y=$\frac{3}{4}$x+6得y=3，
∴P（-4，3）
令S=9代入S=-$\frac{9}{4}$x-18得：x=-12，
将x=-12代入y=$\frac{3}{4}$x+6得y=-3，
∴P（-12，-3）
综上所述：P点坐标为（-4，3）或（-12，-3）

（3）存在
草图如下：

∵△COD≌△FOE，
∴OD=OE=8，OC=OF=6，
∴C（-6，0），D（0，-8），
或C（6，0），D（0，8），
当C（6，0），D（0，8），
设直线CD为y=kx+b，
带入C（6，0），D（0，8），
得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{4}{3}$，b=8，
∴直线CD解析式：y=-$\frac{4}{3}$x+8．
同理当C（-6，0），D（0，-8）时，
直线CD解析式：y=-$\frac{4}{3}$x-8．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+6}\\{y=-\frac{4}{3}x+8}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{24}{25}$，y=$\frac{168}{25}$．
∴P（$\frac{24}{25}$，$\frac{168}{25}$）．
同理求得另一点P（-$\frac{232}{25}$，-$\frac{24}{25}$）．
∴存在这样的点P，使△COD≌△FOE，且P（$\frac{24}{25}$，$\frac{168}{25}$）或（-$\frac{232}{25}$，-$\frac{24}{25}$）．

点评 题目考查了一次函数综合应用、平面直角坐标系三角形面积求解、全等三角形等知识，题目整体较难，运算也相对复杂，对学生提出了很高的要求．同时在求解过程中，不要出现漏解现象．