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【题目】如图,正五边形的边长为2,连对角线AD,BE,CE,线段AD分别与BE和CE相交于点M,N,则MN=__________

【答案】3-

【解析】根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°,根据三角形的内角和即可得到结论;由于∠AEN=108°﹣36°=72°,∠ANE=36°+36°=72°,得到∠AEN=∠ANE,根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN,同理DE=DM,根据相似三角形的性质得到,等量代换得到AN2=AMAD;根据AE2=AMAD,列方程得到MN=3﹣

解:∵∠BAE=∠AED=108°,

∵AB=AE=DE,

∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°,

∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°,

∵∠AEN=108°﹣36°=72°,∠ANE=36°+36°=72°,

∴∠AEN=∠ANE,

∴AE=AN,

同理DE=DM,

∴AE=DM,

∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°,

∴△AEM∽△ADE,

∴AE2=AMAD;

∴AN2=AMAD;

∵AE2=AMAD,

∴22=(2﹣MN)(4﹣MN),

∴MN=3﹣

“点睛”此题主要考查了正多边形的性质和相似三角形的性质,根据三角形的内角和、相似三角形的性质即可得到结论.

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