Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，对于已知的△ABC，点P在边BC的垂直平分线上，若以P点为圆心，PB为半径的⊙P与△ABC三条边的公共点个数之和大于等于3，则称点P为△ABC关于边BC的“稳定点”．如图为△ABC关于边BC的一个“稳定点”P的示意图，已知A(m，0)，B(0，n)．

(1) 如图1，当时，在点中，△AOB关于边OA的“稳定点”是________．

(2) 如图2，当n=4时，若直线y=6上存在△AOB关于边AB的“稳定点”，则m的取值范围是___________

(3)如图3，当m=3，时，过点M(5，7)的直线y=kx+b上存在△AOB关于边AB的“稳定点”，则k的取值范围是__________________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＞或m＜-；（3）若1≤n＜时，＜k≤；若时，；若＜n≤3时，≤k＜时，若3＜n＜时，≤k＜；若n=时，≤k；若＜n≤6时，k＜或k≥．

【解析】

（1）分两种情况：①当⊙P过点B时，②当⊙P与直线AB相切时，分别求出点P的坐标，进而得到结论；

（2）分两种情况：①如图3，当点A在x轴的正半轴时，以线段AB的中垂线与直线y=6的交点P为圆心，以PB的长为半径作⊙P，求出A的坐标，②如图4，当点A在x轴的负半轴时，以线段AB的中垂线与直线y=6的交点P为圆心，以PB的长为半径作⊙P，求出A的坐标，进而即可得到结论；

（3）分6种情况：①如图5，若线段AB的中垂线过点M时，即时，②若1≤n＜时，如图6，③若＜n≤3时，④若3＜n＜时，⑤若n=时，⑥若＜n≤6时，分别求出k的求值范围，即可．

（1）①当⊙P过点B时，如图1，则OP=AP=BP，即：点P是AB的中点，此时，P(，1)，

②当⊙P与直线AB相切时，如图2，切点为点A，则∠PAB=90°，

∵OA=，OB=2，∠AOB=90°，

∴∠BAO=30°，

∴∠OAP=60°，

∴DP=AD=×=3，

∴此时，P(，-3)

综上所述，设点P的纵坐标为y，当-3＜y≤1时，点P是△AOB关于边OA的“稳定点”，即：是△AOB关于边OA的“稳定点”．

故答案是：；

（2）①如图3，当点A在x轴的正半轴时，以线段AB的中垂线与直线y=6的交点P为圆心，以PB的长为半径作⊙P，

当n=4时，且⊙P与x轴相切，切点为点A，则∠PAO=90°，四边形PAOD是矩形，PA=OD=6，

∴PB=PA=6，BD=OD-OB=6-4=2，

∴PD==，

∴此时，A(，0)，

∴当m＞时，直线y=6上存在△AOB关于边AB的“稳定点”；

②如图4，当点A在x轴的负半轴时，以线段AB的中垂线与直线y=6的交点P为圆心，以PB的长为半径作⊙P，此时，A(-，0)，

∴当m＜-时，直线y=6上存在△AOB关于边AB的“稳定点”，

综上所述，m的取值范围是：m＞或m＜-．

故答案是：m＞或m＜-；

（3）①如图5，若线段AB的中垂线过点M时，即过点M(5，7)的直线y=kx+b与线段AB的中垂线重合，此时，符合条件．

把M(5，7)和AB的中点坐标(,)代入y=kx+b，得，解得：，

设直线AB的解析式为：y=ax+c，则，解得：，

∴()()=-1，解得： ，（舍去），

∴；

②若1≤n＜时，如图6，当⊙P过点O时，P(,)，此时，，

如图7，当⊙P与x轴相切，切点为点A，设OD=x，则AD=BD=3-x，

由勾股定理得： ，解得：，

∴AD=3-x=3-=，

∵∠APD+∠ADP=∠ADP+∠BAO=90°,

∴∠APD=∠BAO，

∴tan∠APD=tan∠BAO，

∴，解得：AP=,

∴P(3，)，

∴k=，

∴＜k≤时，过点M(5，7)的直线y=kx+b上存在△AOB关于边AB的“稳定点”；

③若＜n≤3时，当⊙P过点O时，P(,)，此时，，

当⊙P与x轴相切，切点为点A，此时P(3，)，k=，

∴≤k＜时，过点M(5，7)的直线y=kx+b上存在△AOB关于边AB的“稳定点”；

④若3＜n＜时，当⊙P过点O时，P(,)，此时，，

当⊙P与y轴相切，切点为点B，此时⊙P的半径= ，P(，n)，k=，

∴≤k＜时，过点M(5，7)的直线y=kx+b上存在△AOB关于边AB的“稳定点”；

⑤若n=时，则≤k时，过点M(5，7)的直线y=kx+b上存在△AOB关于边AB的“稳定点”；

⑥若＜n≤6时，当⊙P过点O时，P(,)，此时，，

当⊙P与y轴相切，切点为点B，此时⊙P的半径= ，P(，n)，k=，

∴k＜或k≥时，过点M(5，7)的直线y=kx+b上存在△AOB关于边AB的“稳定点”；

综上所述：若1≤n＜时，＜k≤；若时，；若＜n≤3时，≤k＜时，若3＜n＜时，≤k＜；若n=时，≤k；若＜n≤6时，k＜或k≥．

故答案是：若1≤n＜时，＜k≤；若时，；若＜n≤3时，≤k＜时，若3＜n＜时，≤k＜；若n=时，≤k；若＜n≤6时，k＜或k≥．