【题目】已知二次函数y=(a﹣1)x2+3ax+1图象上的四个点的坐标为(x1,m),(x2,m),(x3,n),(x4,n),其中m<n.下列结论可能正确的是( )
A.若a>,则 x1<x2<x3<x4
B.若a>,则 x4<x1<x2<x3
C.若a<﹣,则 x1<x3<x2<x4
D.若a<﹣,则 x3<x2<x1<x4
【答案】B
【解析】
分为和情况,分别根据二次函数中的系数,可得抛物线的开口方向,从而得到四个点的位置关系.
解:依题意得
若,则a﹣1>0
∴抛物线y=(a﹣1)x2+3ax+1的开口向上,
∵(x1,m),(x2,m),(x3,n),(x4,n),
∴当m<n时,则x3<x1<x2<x4(假设x1<x2,x3<x4)
或则x4<x1<x2<x3(假设x1<x2,x3<x4)
∴若,则a﹣1<0
∴抛物线y=(a﹣1)x2+3ax+1的开口向下
∵(x1,m),(x2,m),(x3,n),(x4,n),
∴当m<n时,则x1<x3<x4<x2(假设x1<x2,x3<x4)
综上所述,A、C、D选项不正确,
故选B.
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【题目】如图,已知AB是☉O的直径,DC是☉O的切线,点C是切点,AD⊥DC,垂足为D,且与圆O相交于点E.
(1)求证:∠DAC=∠BAC.
(2)若☉O的直径为5cm,EC=3cm,求AC的长.
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【题目】如图,在△ABD中,∠ABD = ∠ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,连接BC,DC和AC,AC与BD交于点O.
(1)用尺规补全图形,并证明四边形ABCD为菱形;
(2)如果AB = 5,,求BD的长.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,对于已知的△ABC,点P在边BC的垂直平分线上,若以P点为圆心,PB为半径的⊙P与△ABC三条边的公共点个数之和大于等于3,则称点P为△ABC关于边BC的“稳定点”.如图为△ABC关于边BC的一个“稳定点”P的示意图,已知A(m,0),B(0,n).
(1) 如图1,当时,在点中,△AOB关于边OA的“稳定点”是________.
(2) 如图2,当n=4时,若直线y=6上存在△AOB关于边AB的“稳定点”,则m的取值范围是___________
(3)如图3,当m=3,时,过点M(5,7)的直线y=kx+b上存在△AOB关于边AB的“稳定点”,则k的取值范围是__________________.
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【题目】如图,是的直径,过点作的切线,点为上一点,连接与交于点,为上一点,且满足=,连接.
(1)求证:;
(2)过点作的垂线,垂足为,若,,求的半径长.
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【题目】如图 1,在等腰△ABC 中,AB=AC,点 D,E 分别为 BC,AB 的中点,连接 AD.在线段 AD 上任取一点 P,连接 PB,PE.若 BC=4,AD=6,设 PD=x(当点 P 与点 D 重合时,x 的值为 0),PB+PE=y.
小明根据学习函数的经验,对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、计算,得到了 x 与 y 的几组值,如下表:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 5.2 | 4.2 | 4.6 | 5.9 | 7.6 | 9.5 |
说明:补全表格时,相关数值保留一位小数.(参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)
(2)建立平面直角坐标系(图 2),描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)求函数 y 的最小值(保留一位小数),此时点 P 在图 1 中的什么位置.
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【题目】二次函数(是常数,)的自变量与函数值的部分对应值如下表:
… | 0 | 1 | 2 | … | |||
… | … |
且当时,与其对应的函数值.有下列结论:①;②和3是关于的方程的两个根;③.其中,正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【题目】二次函数y = ax2 ax + c图象的顶点为C,一次函数y = x + 3的图象与这个二次函数的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧),与它的对称轴交于点D.
(1)求点D的坐标;
(2) ①若点C与点D关于x轴对称,且△BCD的面积等于4,求此二次函数的关系式;
②若CD=DB,且△BCD的面积等于4,求a的值.
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【题目】某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1:1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1:.
(1)求新坡面的坡角∠CAB的度数;
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.
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