Question

【题目】如图，已知抛物线经过、两点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线（、为常数，且），直线（、为常数，且），若，则．

解决问题：①若直线与直线互相垂直，求的值；

②在抛物线上是否存在点，使得△PAB是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与、重合），求点到直线 距离的最大值．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+x+1；(2)① -；②存在，点P的坐标（6，-14）或（4，-5）；（3）.

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）①利用垂线间的关系，即可求出m的值；

②分两种情况：当PA⊥AB时；当PB⊥AB时。根据垂线间的关系，可得PA，PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；
（3）作MQ⊥x轴交AB于Q。设M的横坐标为t，根据垂直于x轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，用t表示出MQ，于是可表示出三角形ABM的面积，是一个二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值．

解：（1）将A，B点坐标代入，得

，

解得，

所以抛物线的解析式为；

（2）①由直线y=2x-1与直线y=mx+2互相垂直，得

2m=-1，

即；

故答案为：；

②AB的解析式为，

当PA⊥AB时，PA的解析式为y=-2x-2，

联立PA与抛物线，得，

解得（舍），，

即P（6，-14）；

当PB⊥AB时，PB的解析式为y=-2x+3，

联立PB与抛物线，得，

解得（舍去），，

即P（4，-5），

综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标为（6，-14）（4，-5）；

（3）如图：作MQ⊥x轴交AB于Q。

，

，

S△MAB=MQ|xB-xA|

=，

当t=0时，S取最大值，即M（0，1）．

由勾股定理，得

，

设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得

点M到直线AB的距离的最大值是．