[题目]问题背景在综合实践课上.同学们以图形的平移与旋转为主题开展数学活动,如图(1).先将一张等边三角形纸片对折后剪开.得到两个互相重合的△ABD和△EFD.点E与点A重合.点B与点F重合.然后将△EFD绕点D顺时针旋转.使点F落在边AB上.如图(2).连接EC.操作发现(1)判断四边形BFEC的形状.并说明理由,实践探究(2)聪聪提出疑问:若等边三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】问题背景

在综合实践课上，同学们以图形的平移与旋转为主题开展数学活动,如图（1），先将一张等边三角形纸片对折后剪开，得到两个互相重合的△ABD和△EFD，点E与点A重合，点B与点F重合，然后将△EFD绕点D顺时针旋转，使点F落在边AB上，如图（2），连接EC.

操作发现

（1）判断四边形BFEC的形状，并说明理由；

实践探究

（2）聪聪提出疑问：若等边三角形的边长为8，能否将图（2)中的△EFD沿BC所在的直线平移a个单位长度（规定沿射线BC方向为正），得到△，连接，，使得得到的四边形为菱形，请你帮聪聪解决这个问题，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由。

（3）老师提出问题：请参照聪聪的思路，若等边三角形的边长为8，将图（2）中的△EFD在平面内进行一次平移，得到△，画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的一个结论，不必证明．

【答案】（1）四边形BFEC为平行四边形，理由见解析；（2）能，或；（3）作图见解析，结论为：四边形为矩形．

【解析】

（1）由等边三角形的性质及旋转的性质求得△BFD为等边三角形，从而求得EF∥BC且EF=BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判断；

（2）分三角形沿射线BC和射线CB方向平移两种情况，结合菱形的性质及勾股定理求得CG的长度，从而求解；

（3）在（1）问的基础上，利用平移及等边三角形的性质构造矩形作图，从而求解．

（1）四边形BFEC为平行四边形．

理由如下：∵△ABC为等边三角形

∴∠ABD=60°，AB=BC

由题意，知FD=BD

∴△BFD为等边三角形

∴∠FDB=60°

∵∠EFD=60°

∴EF∥BC

∵EF=AB=BC

∴四边形BEFC为平行四边形．

（2）在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=DC=4

∴AD=4

当△DEF沿射线BC方向平移时，过点作G垂直BC交BC的延长线于点G

∵∥BC，=30°

∴=30°

在Rt△中，=4

∴=2

∴=6

∵四边形为菱形

∴=8

在Rt△中，由勾股定理得CG=

∴DG=DC+CG=4+2

∴=DG-=2-2

当△EDF沿射线CB方向平移时，同理可得=2+2，即a=-2-2

∴a=-2-2或2-2

（3）将图（2）中的△EFD在平面内沿CB方向平移2个单位长度，得到△

此时

∴四边形为矩形

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（深入探究）①连接AC，若△POQ与△AOC相似，求出t的值．

②如图，取PQ的中点M，以QM为半径向右侧作半圆M，直接写出半圆M的面积的最小值，并直接写出此时t的值．

（拓展延伸）如图，过点A作半圆M的切线，交直线BC于点H，于半圆M切于点N．

①在P，Q的整个运动过程中，点H的运动路径为　　．

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