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【题目】如图,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠,展平后,得折痕AD,BE(如图①),点O为其交点.

(1)探求AOOD的数量关系,并说明理由;

(2)如图②,若P,N分别为BE,BC上的动点.

Ⅰ)当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度;

Ⅱ)如图③,若点Q在线段BO上,BQ=1,则QN+NP+PD的最小值=

【答案】(1)AO=2OD;(2)(;(.

【解析】试题(1)根据等边三角形的性质得到BAO=∠ABO=∠OBD=30°,得到AO=OB,根据直角三角形的性质即可得到结论;

(2)如图,作点D关于BE的对称点D,过DDNBCNBEP,则此时PN+PD的长度取得最小值,根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD,推出BDD是等边三角形,得到BN=BD=,于是得到结论;

(3)如图,作Q关于BC的对称点Q,作D关于BE的对称点D,连接QD,即为QN+NP+PD的最小值.根据轴对称的定义得到QBN=∠QBN=30°,∠QBQ′=60°,得到BQQ为等边三角形,BDD为等边三角形,解直角三角形即可得到结论.

试题解析:解:(1)AO=2OD理由如下

∵△ABC是等边三角形,∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°,∴AO=OB,∵BD=CD,∴ADBC,∴∠BDO=90°,∴OB=2OD,∴OA=2OD

(2)如图,作点D关于BE的对称点D,过DDNBCNBEP,则此时PN+PD的长度取得最小值.∵BE垂直平分DD′,∴BD=BD′,∵∠ABC=60°,∴△BDD是等边三角形,BN=BD=.∵∠PBN=30°,∴,∴PB=

(3)如图,作Q关于BC的对称点Q,作D关于BE的对称点D,连接QD,即为QN+NP+PD的最小值.

根据轴对称的定义可知:QBN=∠QBN=30°,∠QBQ′=60°,∴△BQQ为等边三角形,BDD为等边三角形,∴∠DBQ′=90°,∴Rt△DBQ中,DQ′==,∴QN+NP+PD的最小值=故答案为:

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听写正确的汉字个数

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