Question

3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，CM⊥BD垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．
（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，由三角形的外角性质和角平分线得出得出∠DAC=∠BDE，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当△BME∽△CNE时，得出对应角相等∠MBE=∠NCE，得出BD=CD=AD，证出DE∥AC，得出$\frac{1}{2}$=$\frac{BD}{AB}$，由勾股定理求出AB，得出BD，即可得出AD；②当△BME∽△ENC时，得出∠EBM=∠CEN，由勾股定理求出AB，由由三角形面积求出CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，由勾股定理求出AD即可；
（3）由AAS证明△MDE≌△DEN，得出S_△MDE=S_△DEN=$\frac{1}{2}$DM•ME，证出EM是BD的垂直平分线，得出∠EDB=∠DBE，证明△CDE∽△CBD，得出对应边成比例，CE=$\frac{C{D}^{2}}{BC}$，求出CD=$\frac{4BE}{BM}$，由三角函数得出$\frac{BE}{BM}$=$\frac{5}{4}$，求出CD、CE，得出BE，由三角函数求出BM，即可得出AD．

解答 （1）证明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠CDB=∠DAC+∠DCA=2∠DAC，
又∵DE是∠CDB的平分线，
∴∠CDB=2∠BDE，
∴∠DAC=∠BDE，
∴DE∥AC；
（2）解：①如图1所示：
当△BME∽△CNE时，
得∠MBE=∠NCE，
∴BD=CD=AD，
∵DE平分∠BDC，
∴DE⊥BC，BE=EC，BE=$\frac{1}{2}$BC，
又∵∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
即$\frac{1}{2}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=5，
∴AD=5；
②如图2所示：
当△BME∽△ENC时，
得∠EBM=∠CEN，
∴EN∥BD，
又∵EN⊥CD，
∴BD⊥CD，
即CD是△ABC斜边上的高，
AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
由三角形面积公式得：AB•CD=AC•BC，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$；
综上所述，当AD=5或$\frac{18}{5}$时，△BME与△CNE相似．
（3）解：∵DE是∠CDB的平分线，
∴∠MDE=∠NDE，
在△MDE和△DEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDE=∠NDE}\\{∠DME=∠DNE=90°}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△DEN（AAS），
∴S_△MDE=S_△DEN=$\frac{1}{2}$DM•ME，
∵S_{四边形MEND}=S_△BDE，
∴2×$\frac{1}{2}$DM•ME=$\frac{1}{2}$BD•ME，
即DM=$\frac{1}{2}$BD，
∴EM是BD的垂直平分线，
∴∠EDB=∠DBE，
∵∠EDB=∠CDE，
∴∠DBE=∠CDE，
又∵∠DCE=∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{DE}{BD}$，
即CE=$\frac{C{D}^{2}}{BC}$，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BE}{BD}=\frac{BE}{2BM}$，
∵BC=8，
即CD=$\frac{4BE}{BM}$，
∵cos∠B=$\frac{BM}{BE}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{BE}{BM}$=$\frac{5}{4}$，
∴CD=4×$\frac{5}{4}$=5，CE=$\frac{C{D}^{2}}{BC}$=$\frac{{5}^{2}}{8}$=$\frac{25}{8}$，
∴BE=8-$\frac{25}{8}$=$\frac{39}{8}$，
∴BM=cos∠B•BE=$\frac{4}{5}$×$\frac{39}{8}$=$\frac{39}{10}$，
∴AD=AB-2BM=10-2×$\frac{39}{10}$=$\frac{11}{5}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要进行分类讨论才能得出结果．