Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D、A、E在直线m上，∠ADB=∠AEC=∠BAC．

（1）求证：DE=DB+EC；

（2）若∠BAC=120°，AF平分∠BAC，且AF=AB，连接FD、FE，请判断△DEF的形状，并写出证明过程．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）由∠ADB=∠AEC=∠BAC，于是得到∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°，推出∠ABD=∠EAC，证得△ABD≌△AEC，根据全等三角形的性质得到BD=AE，然后根据线段的和差即可得到结论；

（2）由等边三角形的性质就可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，进而得出∠DFE=60°，就有△DEF为等边三角形．

【解答】（1）证明：∵∠ADB=∠AEC=∠BAC，

∴∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°，

∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△AEC，

∴BD=AE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=DB+EC；

（2）△DEF为等边三角形

理由：∵△ABF和△ACF均为等边三角形

∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，

∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，

∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△BAD和△ACE中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．

∵∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF=∠FAE．

在△BDF和△AEF中，

，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF为等边三角形．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用．等边三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．