Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝3，AB＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，使点A落在OC边上的点E处，抛物线y=ax2+bx+c过A、E、B三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若M为抛物线的对称轴上一动点，当△MBE的周长最小时，求M点的坐标；

（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BO向点O运动．P点到达终点Ｂ时，Q点同时停止运动，运动时间为t（秒）．若△PBQ是等腰三角形，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3（2）（2，1）（3）2， ，

【解析】试题分析：（1）先求出A、B、E三点坐标，再将A、B、E三点坐标代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；（2）由题意可知：M为直线AE与对称轴x=2的交点时，△MBE的周长最小，先求出直线AE的解析式，进而可求得点M的坐标；（3）根据题意，△DPQ为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论：①若PD=PQ；②若PD=DQ；③若PQ=DQ.

试题解析：

（1）∵四边形OABC是矩形，OA=3，AB=4，∴∠OAB=∠OCB=90°，OC=AB=4，CB=OA=3．又∵OE=OA=3，

∴A﹙0，3﹚，B﹙4，3﹚，E﹙3，0﹚∵抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，E三点，∴

解之得：

∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3．

（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2．

∵点A，B关于直线x=2对称，∴M为直线AE与对称轴x=2的交点时，ME+MB的值最小，而BE的长一定，此时△MBE的周长最小．

设直线AE的解析式为y=kx+m，则有

解得 ∴y=-x+3．

当x=2时，y=1，

∴M点的坐标为（2，1）

（3）①若BP=BQ，则4-t=t，t=2

②若QP=QB，作QD⊥AB于D，则BD=（4-t），

由（4-t）：4=t：5得t=

③若QP=PB，作PE⊥QB于E，则BE=t，

由（4-t）：5=t：4得t=