【题目】如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,BD、CE交于点F.
(1)求证:BD=CE;(2)求锐角∠BFC的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠BFC=60°.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质得出AE=AD,再由∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC,得出∠DAB=∠EAC,利用SAS可证得△EAC≌△DAB,从而可得出结论.
(2)根据△EAC≌△DAB可得∠ECA=∠DAB,从而在△BFC中可得∠ECA+∠FBC=60°,结合∠ACB=60°,利用三角形的内角和定理可得出∠BFC的度数.
(1)证明:∵△ABC和△ADE均为等边三角形,
∴AE=AD、AB=AC,
又∵∠EAD=∠BAC=60°,∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC,即∠DAB=∠EAC,
在△EAC和△DAB中,
,
∴△EAC≌△DAB,
即可得出BD=CE.
(2)由(1)△EAC≌△DAB,可得∠ECA=∠DBA,
又∵∠DBA+∠DBC=60°,
在△BFC中,∠ECA+∠DBC=60°,∠ACB=60°,
则∠BFC=180°-∠ACB-(∠ECA+∠DBC)=180°-60°-60°=60°.
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【题目】在中,为直线上一点,为直线上一点,
(1)如图1,当在上,在上时,求证;
(2)如图2,当在的延长线上,在的延长线上时,点在上,连接,且,求证:
(3)如图3,在(2)的条件下,连接当平分时,将沿着折至探究与的数量关系.
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,D是BC上的一点,且满足∠BAD= ∠C,以AD为直径的⊙O与AB,AC分别相交于点E,F.
(1)求证:直线BC是⊙O的切线;
(2)连接EF,若tan∠AEF= ,AD=4,求BD的长.
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【题目】按下面程序计算,即根据输入的判断是否大于500,若大于500则输出,结束计算,若不大于500,则以现在的的值作为新的的值,继续运算,循环往复,直至输出结果为止.若开始输入的值为正整数,最后输出的结果为656,则满足条件的所有的值是__.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.
(1)求证:DC为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,BC=6,求CD的长.
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【题目】如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长,易知AE=c,这时我们把关于x的形如ax+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题:
写出一个“勾系一元二次方程”;
求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0必有实数根;
若x=1是“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0的一个根,且四边形ACDE的周长是,求△ABC面积.
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【题目】如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,DA平分∠BDF.
(1)AE与FC会平行吗?说明理由;
(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?
(3)BC平分∠DBE吗?为什么.
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【题目】已知,点A、B、C在同一条直线上,点M为线段AC的中点、点N为线段BC的中点.
(1)如图,当点C在线段AB上时:
①若线段,求的长度.
②若AB=a,求MN的长度.
(2)若,求MN的长度(用含的代数式表示).
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【题目】在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE= ∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
(1)当点P与点C重合时(如图①),求证:△BOG≌△POE;
(2)结合图②,通过观察、测量、猜想: 与 的关系,并证明你的猜想;
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图③),若AC=8,BD=6,直接写出 的值.
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