Question

【题目】已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED.=EC.

（1）当点E在AB的上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE＋AC＝CD；
（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），请写出AE，AC和CD之间的数量关系，不需要证明;
（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请写出AE、AC和CD的数量关系，不需要证明;

（4）在（1）和（2）的条件下，若AE=2，CD=6，则AC= 。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）图②:AC=AE +CD；（3）图③:AE=AC+ CD；（4）4或8.

【解析】

（1）如图①，在CD上截取CF＝AE，连接EF．运用“AAS”证明△ECF≌△EDB，得CF＝BD ，进而得出AE＝BD，由CD＝BC＋BD，BC＝AC，即可证得答案；
（2）如图②，在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF．同理可得AE、AC和CD的数量关系；
（3）如图③同（2）的探究过程，可得AE、AC和CD的数量关系；
（4）在（1）和（2）的条件下，把AE=2，CD=6分别代入AC=AE +CD和AE＋AC＝CD中，即可得出AC的值.

（1）证明：在CD上截取CF＝AE，连接EF．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC．
∴BF＝BE，△BEF为等边三角形．
∴∠EBD＝∠EFC＝120°．
又∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECF．
∴△EDB≌△ECF（AAS）
∴CF＝BD．

∴AE＝BD．
∵CD＝BC＋BD，BC＝AC，
∴AE＋AC＝CD；

（2）图②:AC=AE +CD.

（3）图③:AE=AC+ CD.

（4）把AE=2，CD=6代入AC=AE +CD中得：；

把AE=2，CD=6代入AE＋AC＝CD中得：.

∴或.