Question

20．如图1，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，满足到线段CB距离最大，求点P坐标；
（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与线段BC相交于点F，M为线段BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，进而求出点B的坐标，即可求出直线BC的解析式；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，-x²+3x+4），则Q（x，-x+4）；求出PQ的长，利用S_△PCB=$\frac{1}{2}$PQ•OB列出S关于x的二次函数，利用函数的性质求出面积的最大值，进而求出点P的坐标；
（3）首先求出EF的长，设N（x，-x²+3x+4），则M（x，-x+4），利用平行四边形对边平行且相等列出x的一元二次方程，解方程求出x的值即可．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式：y=-x²+3x+4．

（2）由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=-x+4；
如图1，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，-x²+3x+4），则Q（x，-x+4）；
∴PQ=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x；
S_△PCB=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-x²+4x）×4=-2（x-2）²+8；
∴当P（2，6）时，△PCB的面积最大；
    
（3）存在．
抛物线y=-x²+3x+4的顶点坐标E（ $\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
直线BC：y=-x+4；当x=$\frac{3}{2}$时，F（ $\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴EF=$\frac{15}{4}$．
如图2，过点M作MN∥EF，交直线BC于M，设N（x，-x²+3x+4），则M（x，-x+4）；
∴MN=|（-x²+3x+4）-（-x+4）|=|-x²+4x|；
当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形，
∴|-x²+4x|=$\frac{15}{4}$；
由-x²+4x=$\frac{15}{4}$时，解得x₁=$\frac{5}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$（不合题意，舍去）．
当x=$\frac{5}{2}$时，y=-（ $\frac{5}{2}$）²+3×$\frac{5}{2}$+4=$\frac{21}{4}$，
∴N₁（ $\frac{5}{4}$，$\frac{21}{4}$）．
当-x²+4x=-$\frac{15}{4}$时，解得x=$\frac{4±\sqrt{31}}{2}$，
当x=$\frac{4+\sqrt{31}}{2}$时，y=$\frac{-7-2\sqrt{31}}{4}$，
∴N₂（ $\frac{4+\sqrt{31}}{2}$，$\frac{-7-2\sqrt{31}}{4}$），
当x=$\frac{4-\sqrt{31}}{2}$时，y=$\frac{-7+2\sqrt{31}}{4}$，
∴N₃（$\frac{4-\sqrt{31}}{2}$，$\frac{-7+2\sqrt{31}}{4}$），
综上所述，点N坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$）或（ $\frac{4+\sqrt{31}}{2}$，$\frac{-7-2\sqrt{31}}{4}$）或（$\frac{4-\sqrt{31}}{2}$，$\frac{-7+2\sqrt{31}}{4}$）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、平行四边形的判定等知识，解答（2）问关键是用x表示出PQ的长，解答（3）问关键是求出EF的长，利用平行四边形对边平行且相等进行解答，此题有一定的难度．