Question

【题目】我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．

杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（n=1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律. 例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．

（1）当n=4时，的展开式中第3项的系数是_________；

（2）人们发现，当n是大于6的自然数时，这个规律依然成立，那么的展开式中各项的系数的和为_________．

Answer 1

【答案】6 128

【解析】

（1）当n=4时，的展开式的系数恰好对应的是第五行的数，根据第五行的数即刻得出答案；

（2）的展开式的系数恰好对应第八行的数，据图写出第八行的数求和即可.

解：（1）的展开式的系数恰好对应的是第五行的数，为：1,4,6,4,1，故的展开式中第3项的系数是6；

（2）据题可知第八行的数为：1,7,21,35,35,21,7,1.故的展开式中各项的系数的和为：1+7+21+35+35+21+7+1=128.

故答案为：(1)6;(2)128.