【题目】如图,在中,,,,E为斜边AB的中点,点P是射线BC上的一个动点,连接AP、PE,将沿着边PE折叠,折叠后得到,当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一,则此时BP的长为______.
【答案】2或
【解析】
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB,即可得到AE的值,然后根据勾股定理求出BC.①若PA′与AB交于点F,连接A′B,如图1,易得S△EFP=S△BEP=S△A′EP,即可得到EF=BE=BF,PF=A′P=A′F.从而可得四边形A′EPB是平行四边形,即可得到BP=A′E,从而可求出BP;②若EA′与BC交于点G,连接AA′,交EP与H,如图2,同理可得GP=BG,EG=EA′=1,根据三角形中位线定理可得AP=2=AC,此时点P与点C重合(BP=BC),从而可求出BP.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB的中点,
∴AB=4,AE=AB=2,BC=2.
①若PA′与AB交于点F,连接A′B,如图1.
由折叠可得S△A′EP=S△AEP,A′E=AE=2,.
∵点E是AB的中点,
∴S△BEP=S△AEP=S△ABP.
由题可得S△EFP=S△ABP,
∴S△EFP=S△BEP=S△AEP=S△A′EP,
∴EF=BE=BF,PF=A′P=A′F.
∴四边形A′EPB是平行四边形,
∴BP=A′E=2;
②若EA′与BC交于点G,连接AA′,交EP与H,如图2.
.
同理可得GP=BP=BG,EG=EA′=×2=1.
∵BE=AE,∴EG=AP=1,
∴AP=2=AC,
∴点P与点C重合,
∴BP=BC=2.
故答案为2或2.
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【题目】(3分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF,其中正确的结论共有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,将一副直角三角板放在同一条直线AB上,其中∠ONM=30°,∠OCD=45°.将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,当第________ 秒时,直线CD恰好与直线MN垂直.
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【题目】如图,AB是的直径,弦于H,过CD延长线上一点E作的切线交AB的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.
求证:;
若,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
在的条件下,若,,求FG的长.
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【题目】如图:有一块三角形状的土地平均分给四户人家,现有四种不同的分法,如图中,D、E、F分别是BC、AC、AB的中点,G、H分别是BF、AF的中点,其中正确的分法有
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
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【题目】用一条直线分割一个三角形,如果能分割出等腰三角形,那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线.在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.
(1)如图(1),若 O 为 AB 的中点,则直线 OC_____△ABC 的等腰分割线(填“是”或“不是”)
(2)如图(2)已知△ABC 的一条等腰分割线 BP 交边 AC 于点 P,且 PB=PA,请求出 CP 的长度.
(3)如图(3),在△ABC 中,点 Q 是边 AB 上的一点,如果直线 CQ 是△ABC 的等腰分割线,求线段BQ 的长度等于 ______.(直接写出答案).
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【题目】如图所示,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,则∠C的大小是( )
A.20°B.30°C.25°D.15°
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【题目】如图,是一种斜挎包,其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小敏用后发现,通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和,其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短.设单层部分的长度为xcm,双层部分的长度为ycm,经测量,得到如下数据:
单层部分的长度x(cm) | … | 4 | 6 | 8 | 10 | … | 150 |
双层部分的长度y(cm) | … | 73 | 72 | 71 | … |
(1)根据表中数据的规律,完成以下表格,并直接写出y关于x的函数解析式;
(2)根据小敏的身高和习惯,挎带的长度为120cm时,背起来正合适,请求出此时单层部分的长度;
(3)设挎带的长度为lcm,求l的取值范围.
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