Question

【题目】如图，AB是的直径，弦于H，过CD延长线上一点E作的切线交AB的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．

求证：；

若，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

在的条件下，若，，求FG的长．

Answer 1

【答案】证明见解析；，理由见解析；．

【解析】

如图1，连接根据切线性质及，可以推出，根据等角对等边得到；

与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由，及，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出与相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到，可推知，从而得到；

如图3所示，连接OG，OC，先求出，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在中，解直角三角形即可求得FG的长度．

如答图1，连接OG．

为切线，

，

，

，

又，

，

，

．

，理由为：连接GD，如图2所示．

，即，

，

又，

∽，

，

又，

，

；

连接OG，OC，如图3所示，

，设，则，，

，，

，

．

在中，根据勾股定理得，

即，解得．

设半径为r，在中，，，，

由勾股定理得：，

即，解得

为切线，

为直角三角形，

在中，，，

．