【题目】如图,抛物线y=x2+mx+4m与x轴交于点A(
,0)和点B(
,0),与y轴交于点C,
,若对称轴在y轴的右侧.
(1)求抛物线的解析式
(2)在抛物线的对称轴上取一点M,使|MC-MB|的值最大;
(3)点Q是抛物线上任意一点,过点Q作PQ⊥x轴交直线BC于点P,连接CQ,当△CPQ是等腰三角形时,求点P的坐标.
【答案】(1)y=-x-4;(2)M(1,-6);(3)P1 (
),P2(2,-2),P3(
).
【解析】
(1)利用根与系数的关系即可求出m,结合对称轴在y轴右侧可得结果;
(2)根据点A和点B关于对称轴对称,过点AC作直线交对称轴于点M,求出A,B,C的坐标,求出AC的表达式,得到点M的坐标即可;
(3)分PC=PQ,QC=QP,CP=CQ分别讨论,求出相应x值即可.
解:(1)∵y=x2+mx+4m与x轴交于
,0)和点B(
,0),
∴是方程
x2+mx+4m=0的两个根,
,
,
∴(-2m)2-16m=20,
解得m1=5,m2=-1,
∵对称轴在y轴的右侧,
∴m=-1,
∴y=-x-4;
(2)y=-x-4中,当x=0时,y=-4,
当y=0时=-2,
=4,
∴A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),
过点AC作直线交对称轴于点M,
设直线AC的解析式为y=kx+b,
将(-2,0),(0,-4)代入,
则,
解得,
得y=-2x-4,当x=1时,y=-6,
∴M(1,-6);
将(4,0),(0,-4)代入,
则,
解得,
得y=x-4,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
设P的横坐标为x,作PH⊥y轴于H,
则PC=,
∴PQ=|(x-4)--x-4)|
(图一) (图二)
如图一图二,当CQ=CP时,(x-4)+-x-4)=-8,
x=0,不合题意,所以不存在;
(图三) (图四) (图五)
如图三,当PC=PQ时,=(x-4)-
-x-4),
解得x=,
∴P()
如图四,当CQ=PQ时,x=(x-4)- -x-4),
解得x=2,
∴P(2,-2);
如图五,当PC=PQ时 ,
-x-4)-(x-4)=
,
解得:x=,
∴P();
综上:P1() ,P2(2,-2),P3(
).
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC、BC是⊙O的弦,∠ACB的平分线交⊙O于D,连接AD、BD,已知AB=6,BC=2.
(1)求AD的长度和四边形ACBD的面积;
(2)证明:2AD2=AC2+BC2.
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【题目】如图,抛物线(
)交直线
:
于点
,点
两点,且过点
,连接
,
.
(1)求此抛物线的表达式与顶点坐标;
(2)点是第四象限内抛物线上的一个动点,过点
作
轴,垂足为点
,
交
于点
.设点
的横坐标为
,试探究点
在运动过程中,是否存在这样的点
,使得以
,
,
为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点
的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)若点在
轴上,点
在抛物线上,是否存在以点
,
,
,
为顶点的平行四边形?若存在,求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某水果店第一次用1200元购进一批大樱桃,很快售完;又用2500元购进第二批大樱桃,所购公斤数是第一批的2倍,但进价比第一批每公斤多了5元.
(1)求第一批大樱桃每公斤进价多少元?
(2)若以每公斤150元的价格销售第二批大樱桃,售出后,为了尽快售完,决定打折促销,要使第二批大樱桃的销售利润不少于320元,剩余的大樱桃每公斤售价至少打几折(利润=售价-进价)?
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【题目】某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,学校收集整理数据后,将减压方式分为五类,并绘制了图1、图2两个不完整的统计图,请根据图中的信息解答下列问题:
九年级接受调查的同学共有多少名,并补全条形统计图;
九年级共有500名学生,请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名;
若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生,心理老师想从5名同学中任选两名同学进行交流,请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率.
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【题目】如图①,图②分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图,根据商品介绍,获得了如下信息:滑杆、箱长
、拉杆
的长度都相等,即
,点
、
在线段
上,点
在
上,支杆
,
,
,
.
请根据以上信息,解决下列问题;
(1)求的长度(结果保留根号);
(2)求拉杆端点到水平滑杆
的距离(结果保留到
).
参考数据:,
,
.
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【题目】某企业为了解员工安全生产知识掌握情况,随机抽取了部分员工进行安全生产知识测试,测试试卷满分100分.测试成绩按、
、
、
四个等级进行统计,并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.(说明:测试成绩取整数,
级:90分~100分;
级:75分-89分;
级:60分~74分;
级:60分以下)
请解答下列问题:
(1)该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有人数;
(2)补全条形统计图;
(3)若该企业共有员工800人,试估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到级的人数.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为直径,点D为弧ACB的中点,过点D的切线与BC的延长线交于点E.
(1)用尺规作图作出圆心O;(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求证:DE⊥BC;
(3)若OC=2CE=4,求图中阴影部分面积.
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【题目】某校为了调查学生对卫生健康知识,特别是疫情防控下的卫生常识的了解,现从九年级名学生中随机抽取了部分学生参加测试,并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图(尚不完整).
组别 | 成绩 | 人数 |
第 | ||
第 | ||
第 | ||
第 | ||
第 |
请结合图表信息完成下列各题.
(1)表中a的值为_____,b的值为______;在扇形统计图中,第组所在扇形的圆心角度数为______°;
(2)若测试成绩不低于分为优秀,请你估计从该校九年级学生中随机抽查一个学生,成绩为优秀的概率.
(3)若测试成绩在分以上(含
分)均为合格,其他为不合格,请你估计该校九年级学生中成绩不合格的有多少人.
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