Question

【题目】已知：在中，，，过点、分别作的垂线与过点的直线交于、两点.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接、相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图2中的四对三角形，使写出的每对三角形面积相等.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）在AB上截取AG=AD，通过证明△ADC≌△AGC，可得∠D=∠1，由补角的性质可得∠2=∠E，通过证明△BCG≌△BCE，可得BG=BE，即可得结论；

（2）由等底等高的两个三角形面积相等和三角形中线性质可求解．

（1）证明：在上取一点，使得，

∵中，，，

，，

∴，

在和中，，，，

∴（SAS），

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

在和中，，，，

∴（AAS），

∴，

∴；

（2））∵AD∥BE，

∴S△EAD=S△BAD，S△ABE=S△DEB，

∴S△EDF=S△FAB，

由（1）可知，DC=CE=CG，

∴S△BCD=S△BCE，

∴△EAD和△BAD，△AEB和△DEB，△FDE和△FAB，△BCE和△BCD，每对三角形面积相等．