Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若CD＝6cm，DE＝5cm，求⊙O直径的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

(1)连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；

(2)根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．

(1)证明：连结DO，如图，

∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，

∴DE＝CE＝BE，

∴∠EDC＝∠ECD，

又∵OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD，

而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，

∴DE⊥OD，

∴DE与⊙O相切；

(2)BC=2DE=10

BD＝8，

∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，

∴△BCA∽△BDC，

∴AC＝，

∴⊙O直径的长为．