【题目】如图,长方形ABCD在平面直角坐标系中,AD∥BC∥x轴,AB∥DC∥y轴,x轴与y轴夹角为90°,点M,N分别在xy轴上,点A(1,8),B(1,6),C(7,6),D(7,8).
(1)连接线段OB、OD、BD,求△OBD的面积;
(2)若长方形ABCD在第一象限内以每秒0.5个单位长度的速度向下平移,经过多少秒时,△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等请直接写出答案;
(3)见备用图,连接 OB,OD,OD交BC于点E,∠BON的平分线和∠BEO的平分线交于点F.
①当∠BEO的度数为n,∠BON的度数为m时,求∠OFE的度数.
②请直接写出∠OFE和∠BOE之间的数量关系.
【答案】(1)17;(2);(3)①∠EFO=m+n+90°;②2∠EFO+∠BOE=270°.
【解析】
(1)延长DA交y轴于H,如图1所示,则AH⊥y轴,然后利用S△OBD=S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB代入数据计算即可;
(2)由S△OBD=S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB=S长方形ABCD=12即可列出关于t的方程,解方程即得结果;
(3)①延长CB交y轴于点P,延长EF交y轴于点G,如图2,根据角平分线的定义和三角形的外角性质解答即可;
②根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠EFO=90°+(∠NOB+∠BEO),根据直角三角形的性质可得∠BON+∠BEO=90°-∠BOE,进一步即可得出结论.
解:(1)延长DA交y轴于H,如图1所示:
则AH⊥y轴.
∵A(1,8),B(1,6),C(7,6),D(7,8)
∴OH=8,DH=7,AH=1,AD=6,AB=2,
∴S△OBD=S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB
=×OH×DH﹣×AB×AD﹣×(AB+OH)×AH
=×8×7﹣×2×6﹣×(2+8)×1=17;
(2)∵S长方形ABCD=2×6=12,
∴S△OBD=S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB=12,
∴×(8﹣0.5t)×7﹣×2×6﹣×(2+8﹣0.5t)×1=12,
解得:t=;
(3)①延长CB交y轴于点P,延长EF交y轴于点G,如图2,
∵EF平分∠BEO,OF平分∠NOB,
∴∠GOF=∠NOB=m,∠BEF=∠BEO=n,
∵∠EFO=∠GOF+∠FGO,∠FGO=∠GPE+∠BEF,
∴∠EFO=∠GOF+∠GPE+∠BEF=m+n+90°;
②∵EF平分∠BEO,OF平分∠NOB,
∴∠GOF=∠NOB,∠BEF=∠BEO,
∵∠EFO=∠GOF+∠FGO,∠FGO=∠GPE+∠BEF,
∴∠EFO=∠GOF+∠GPE+∠BEF=90°+∠NOB+∠BEO=90°+(∠NOB+∠BEO),
∵∠BOE=90°﹣∠BON﹣∠BEO,
∴∠BON+∠BEO=90°-∠BOE,
∴∠EFO=90°+(90°-∠BOE),
即2∠EFO+∠BOE=270°.
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【题目】我县万德隆商场有A、B两种商品的进价和售价如表:
商品 价格 | A | B |
进价(元/件) | m | m+20 |
售价(元/件) | 160 | 240 |
已知:用2400元购进A种商品的数量与用3000元购进B种商品的数量相同.
(1)求m的值;
(2)该商场计划同时购进的A、B两种商品共200件,其中购进A种商品x件,实际进货时,生产厂家对A种商品的出厂价下调a(50<a<70)元出售,若商场保持同种商品的售价不变,商场售完这200件商品的总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②若限定A种商品最多购进120件最少购进100件,请你根据以上信息,设计出使该商场获得最大利润的进货方案.
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【题目】如图,面积为,第一次操作:分别延长至点使,顺次连结,得到,第二次操作:分别延长至点,使,顺次连结,得到, ..按此规律,要使得到的三角形的面积超过,至少经过_________次操作.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=5,过点A、B作⊙O,交AD,BC于点E,F,连接BE,CE,过点F作FG⊥CE,垂足为G.
(1)当点F是BC的中点时,求证:直线FG与⊙O相切;
(2)若FG∥BE时,求AE的长.
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【题目】已知:如图,,M是BC的中点,DM平分.
(1)求证:AM平分;
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系?请说明理由;
(3)线段CD、AB、AD间有怎样的数量关系?请说明理由.
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【题目】利用我们学过的知识,可以得出下面这个优美的等式:
;该等式从左到右的变形,不仅保持了结构的对称性,还体现了数学的和谐、简洁美.
⑴.请你证明这个等式;
⑵.如果,请你求出 的值.
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【题目】如图所示,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°,已知OA=200米,山坡坡度为 (即tan∠PAB= ),且O,A,B在同一条直线上,求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度.(侧倾器的高度忽略不计,结果保留根号)
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