Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，点P是斜边BC上一点，且AB=4，BP=2，先将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，则∠BCP′=

 

，AP=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠ACB=45°，∠BAC=90°，BC=

2

AB=4

2

，再根据旋转的性质得∠ACP′=∠B=45°，CP′=BP=2，∠PAP′=90°，AP=AP′，易得∠BCP′=90°，然后在Rt△PCP、利用勾股定理计算出PP′=2

10-4 2

，再利用等腰直角三角形的性质计算AP的长．

解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，∠BAC=90°，BC=

2

AB=4

2

，
∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
∴∠ACP′=∠B=45°，CP′=BP=2，∠PAP′=90°，AP=AP′，
∴∠BCP′=∠BCA+∠ACP′=45°+45°=90°，
在Rt△PCP′，∵PC=BC-BP=4

2

-2，P′C=2，
∴PP′=

PC2+P′C2

=

40-16 2

=2

10-4 2

，
∵∠PAP′=90°，AP=AP′，
∴△∠PAP′为等腰直角三角形，
∴AP=

2

2

PP′=2

5-2 2

．
故答案为90°，2

5-2 2

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．