Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB＝8，∠A＝30°，AC＝8，AC与⊙O交于点D．

（1）求证：直线BD是线段AC的垂直平分线；

（2）若过点D作DE⊥BC，垂足为E，求证：DE是⊙O的切线；

（3）若点F是AC的三等分点，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BF＝．

【解析】

(1)根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形得到BD＝4，AD＝4，于是得到AD＝AC，即可得到结论；

(2)连接OD，根据三角形中位线的性质得到OD∥BC，OD＝BC，推出OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；

(3)根据已知条件得到AF＝，求得DF＝，根据勾股定理即可得到结论．

∵(1)∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵直径AB＝8，∠A＝30°，

∴BD＝4，AD＝4，

∵AC＝8，

∴AD＝AC，

∴直线BD是线段AC的垂直平分线；

(2)连接OD，

∵D，O分别是线段AC，AB的中点，

∴OD∥BC，OD＝BC，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝∠EDO＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

(3)∵点F是AC的三等分点，

∴AF＝，

∵AD＝4，

∴DF＝，

∵BD⊥AC，BD＝4，

∴BF＝．