Question

6．如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，
（1）直接写出BD的长及$\widehat{BD}$的长；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD、AD，根据切线的性质求出∠BAC=90°，求出AB=AC=2，由勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质求出D为BC的中点，即可求出BD，根据弧长公式求出即可；
（2）解直角三角形求出AD=DC=AC×sin45°=$\sqrt{2}$，求出阴影部分的面积=S_△ADC，根据三角形面积公式求出即可．

解答 解：（1）连接OD、AD，
∵CA切⊙O于A，
∴∠BAC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠B=∠C=45°，
∴AB=AC=2，由勾股定理得：BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D为BC的中点，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，
∵O为AB的中点，D为BC的中点，
∴OD∥AC，OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵∠BAC=90°，
∴$\widehat{BD}$=$\frac{90π•1}{180}$=$\frac{1}{2}π$；

（2）∵∠ADB=∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2，
∴AD=DC=AC×sin45°=$\sqrt{2}$，
∵∠BOD=∠AOD=90°，AO=BO=OD，
∴阴影部分的面积=S_△ADC-S_弓形AD+S_弓形BD=S_△ADC=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．

点评 本题考查了三角形的面积，弧长公式，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．