Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．

（1）若AP=AC，BC=4，求S△ACP；

（2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC；

（3）如图2，在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AB≠BC，AC=AP，取CP中点E，连接EB，交AC于点O，猜想：∠AOB与∠ABM之间有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）7；（2）证明见解析；（3）∠AOB=3∠ABM，理由见解析．

【解析】

（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC，得出AP，即可求出S△ACP；

（2）在CF上截取NG=FN，连接BG，则CF﹣CG=2FN，证出∠BCF=∠DCP，由ASA证明△BCF≌△DCP，得出CF=CP，证出CG=BM，由SAS证明△ABM≌△BCG，得出∠AMB=∠BGC，因此∠BMC=∠BGF，由线段垂直平分线的性质得出BF=BG，得出∠BFG=∠BGF，因此∠BMC=∠CBM，即可得出结论；

（3）连接AE，先证出∠BCA=2∠PAE，再证明A、D、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠DCP=∠PAE，得出∠BCF=∠PAE，证出∠BCA=2∠ABM，然后由三角形的外角性质即可得出结论．

解：（1）∵四边形ABC是正方形，

∴AD∥BC，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，

∴AC==4，

∴AP=AC=×4=，

∴S△ACP=AP×CD=××4=7；

（2）在CF上截取NG=FN，连接BG，如图1所示：

则CF﹣CG=2FN，

∵CF⊥CP，

∴∠PCF=90°，

∴∠BCF=∠DCP，

在△BCF和△DCP中，，

∴△BCF≌△DCP（ASA），

∴CF=CP，

∵CP﹣BM=2FN，

∴CG=BM，

∵∠ABC=90°，BM⊥CF，

∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，

在△ABM和△BCG中，，

∴△ABM≌△BCG（SAS），

∴∠AMB=∠BGC，

∴∠BMC=∠BGF，

∵GN=FN，BM⊥CF，

∴BF=BG，

∴∠BFG=∠BGF，

∴∠BMC=∠CBM，

∴BC=MC；

（3）∠AOB=3∠ABM；理由如下：

连接AE，如图2所示：

∵AC=AP，E是CP的中点，

∴AE⊥CP，∠PAE=∠CAE，

∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠PAC=2∠PAE，

∵CF⊥CP，

∴∠PCF=90°，

∴∠BCF=∠DCP，

∵∠ADC=∠AEC=90°，

∴A、D、E、C四点共圆，

∴∠DCP=∠PAE，

∴∠BCF=∠PAE，

又∵∠ABM=∠BCF，

∴∠ABM=∠BCF=∠PAE，

∴∠BCA=2∠ABM，

∵∠AOB=∠BCF+∠BCA，

∴∠AOB=3∠ABM．