【题目】如图1,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,过点C作CF//BD,交AB于点E,交AD于点F.
(1)求证:△AEF≌△BEC;
(2)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,如图2,求sin∠ACH的值.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
(1)根据等边三角形及平行线的性质求出AE=CE=BE,再根据ASA即可证明△AEF≌△BEC;
(2)在Rt△ABC中,设BC=1,则AD=AB=2,AC=,设DH=x,则CH=x,在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,代入求出x的值,再根据三角函数的定义即可求解.
(1)∵△ABD是等边三角形
∴∠D=∠DAB=60°,
∵∠CAB=30°
∴∠FAC=∠DAB+∠CAB=90°=∠ACB
∴AD∥BC
∵CF//BD
∴∠AFC=∠D=60°
∴∠FCA=90°-∠AFC=30°=∠CAB
∴AE=CE,
∵AD∥BC
∴∠ABC=∠DAB=60°
又∠ECB=90°-∠FCA=60°
∴BE=CE
∴AE=BE
又∠FAB=∠EBC=60°,∠AEF=∠BEC,
∴△AEF≌△BEC;
(2) ∵∠BAD=60°,∠CAB=30°
∴∠CAH=90°
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,设BC=1,则AB=AD=2,
∴AC==,
设DH=x,则CH=x,AH=2-x
在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,
即(2-x)2+()2=x2,
解得x=,
∴AH=2-=
∴sin∠ACH==.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD是角平分线,以点D为圆心,DA为半径的⊙D与AC相交于点E
(1)求证:BC是⊙D的切线;
(2)若AB=5,BC=13,求CE的长.
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【题目】我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN的长).直线MN垂直于地面,垂足为点P,在地面A处测得点M的仰角为60°,点N的仰角为45°,在B处测得点M的仰角为30°,AB=5米.且A、B、P三点在一直线上,请根据以上数据求广告牌的宽MN的长.(结果保留根号)
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【题目】如图,抛物线的顶点和抛物线与轴的交点在一次函数的图象上,它的对称轴是,有下列四个结论:①;②;③当时,.其中正确结论的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=5,BC=3,点P从点D出发,沿DC,CB向终点B匀速运动.设点P所走过的路程为x,点P所经过的线段与AD,AP所围成的图形的面积为y,y随x的变化而变化.在下列图象中,能正确反映y与x的函数关系的是( )
A.B.C.D.
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【题目】在ABCD中,∠D=30°,AB<AD.
(1)在AD边上求作一点P,使点P到边AB,BC的距离相等;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接BP,若AB=2,求△ABP的面积.
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【题目】随着智能手机的普及率越来越高以及移动支付的快捷高效性,中国移动支付在世界处于领先水平.为了解人们平时最喜欢用哪种移动支付方式,因此在某步行街对行人进行随机抽样调查,以下是根据调查结果分别整理的不完整的统计表和统计图.
移动支付方式 | 支付宝 | 微信 | 其他 |
人数/人 |
| 200 | 75 |
请你根据上述统计表和统计图提供的信息.完成下列问题:
(1)在此次调查中,使用支付宝支付的人数;
(2)求表示微信支付的扇形所对的圆心角度数;
(3)某天该步行街人流量为10万人,其中30%的人购物并选择移动支付,请你依据此次调查获得的信息估计一下当天使用微信支付的人数.
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【题目】某班甲、乙、丙、丁四位同学周一到周四轮流值日.
(1)若每个同学只随机值日一天,则甲恰好在周一值日的概率是多少?
(2)若每两个同学为一组,四位同学被分成两组.
①甲分在第一组的概率为
②求甲、乙同时分在第一组的概率为多少?
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【题目】某电视机厂要印制产品宣传材料甲印刷厂提出:每份材料收1元印制费,另需收取所有印制材料的制版费1500元;乙印刷厂提出:每份材料收2.5元印制费,不收制版费.设该电视厂在同一个印刷厂一次印的数量为份.
(1)根据题意填表:
一次印制数量(份) | 300 | 500 | 1500 | … |
甲印刷厂花费(元) | 2000 | … | ||
乙印刷厂花费(元) | 1250 | … |
(2)设在甲印刷厂花费元,在乙印刷厂花费元,分别求,关于的函数解析式;
(3)根据题意填空:
①若电视厂在甲印刷厂和在乙印刷厂一次印制宣传材料的数量相同,且花费相同,则该电视厂在同一个印刷厂一次印制材料的数量为 份;
②印制800份宣传材料时,选择 印刷厂比较合算;
③电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料,在 印刷厂印制宣传材料可以多一些.
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