Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．

（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE+DF＝EF理由见解析；（2）AH＝AB，理由见解析

【解析】

（1）延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证△GDA≌△EBA，△GAF≌△EAF，根据全等三角形的性质得出GD+DF＝BE+DF＝EF进而求出即可；

（2）把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，如图，根据旋转的性质得AQ＝AF，∠FAQ＝90°，∠ABQ＝∠D＝90°，则可判断点Q在CB的延长线上，由∠EAF＝45°得到∠QAE＝90°﹣∠EAF＝45°，然后根据“SAS”判断△AEQ≌△AEF，得到EQ＝FE，再根据全等三角形对应边上的高相等得到结论．

解：（1）BE+DF＝EF；

理由如下：

如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，

∵在△GDA和△EBA中，

，

∴△GDA≌△EBA（SAS），

∴AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，

故∠GAF＝45°，

在△GAF和△EAF中，

∵，

∴△GAF≌△EAF（SAS），

∴GF＝EF，

即GD+DF＝BE+DF＝EF；

（2）AH＝AB，

理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，如图2，

∴AQ＝AF，∠FAQ＝90°，∠ABQ＝∠D＝90°，

而∠ABC＝90°，

∴点Q在CB的延长线上，

∵∠EAF＝45°，

∴∠QAE＝90°﹣∠EAF＝45°，

∴∠EAF＝∠QAE，

在△AEQ和△AEF中，

，

∴△AEQ≌△AEF（SAS），

∴EQ＝EF，

∵AB⊥EQ，AH⊥FE，

∴AB＝AH．