Question

17．已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC；在△ADE中，∠ADE=90°，AD=DE．连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图（1）．求证：BM=DM，且BM⊥DM；
（2）如果将图（1）中的△ADE绕点A逆时针方向旋转45°的角，请画出图形．（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立请举出反例．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM=DM=$\frac{1}{2}$EC，再利用∠1=∠2，∠3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；
（2）首先证明△EMD≌△CMN，得CN=AD，DM=MN，再由AB=AC，可得BD=BN，从而可得△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边DN上的中线，再利用等腰三角形的三线合一的性质和直角三角形的性质即可得到△BMD为等腰直角三角形；

解答 解：（1）△BMD是等腰三角形，
理由是：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°，
∵点M是CE的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$CE，DM=$\frac{1}{2}$CE，
∴BM=DM，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，
∴∠BMD=2（∠1+∠3），
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∴∠BMD=90°，
∴BM=DM且BM⊥DM；
故答案为：BM=DM且BM⊥DM．

（2）结论：BM=DM，BM⊥DM，
证明：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠NCM}\\{EM=CM}\\{∠EMD=∠NMC}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=AD，DM=MN，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，BM=$\frac{1}{2}$DN=DM，
∴△BMD为等腰直角三角形，
∴BM⊥DM，BM=DM．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．