Question

【题目】特例探究：如图①，已知在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC边的中点，连接BD，判断△ABD是什么三角形，并说明理由．

归纳证明：如图②，已知在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC边的中点，连接BD，把Rt△DEF的直角顶点D放在AC的中点上，DE交AB于M，DF交BC于N．证明：DM=DN．

拓展应用：在图②，AC=4，其他条件都不发生变化，请直接写出Rt△DEF与△ABC的重叠部分的面积．

Answer 1

【答案】特例探究：△ABD是等腰直角三角形，理由见解析；归纳证明：证明见解析；拓展应用：2.

【解析】

特例探究：根据等腰直角三角形的性质和三线合一，直接证得△ABD是等腰直角三角形即可；

归纳证明：证得△DMA≌△DNB（ASA），即可得出答案；

拓展应用：由归纳证明可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），由此得出Rt△DEF与△ABC的重叠部分（四边形DMBN的面积是△ABC面积的一半，即可得出结论．

特例探究：△ABD是等腰直角三角形．理由如下：

∵AB=BC，∠ABC=90°，∴△ABC为等腰直角三角形．

∵D为AC边的中点，∴BD⊥AC，AD=CD=AC，BD=AC，∴AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形．

归纳证明：∵AB=CB，∴∠A=∠C=45°．

∵D是AC的中点，∴DA=DC=BD，∠DBN=45°，BD⊥AC，∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=90°，∴∠A=∠DBN．

∵∠EDF=90°，∴∠BDN+∠BDM=90°，∴∠ADM=∠BDN．

在△DMA和△DBN中，∵∠ADM=∠BDN，AD=BD，∠A=∠DBN，∴△DMA≌△DNB（ASA），∴DM=DN．

拓展应用：∵AC=4，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=，由归纳证明，可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），∴S四边形DMBN=S△BDM+S△DBN==2．