Question

【题目】如图，在⊙O 中，BC是弦，OA⊥BC于点E，D为⊙O上一点，连接AD，CD.

（1）求证：∠AOB=2∠ADC；

（2）若OB⊥CD，CD=8，OE=，求tan∠ADC.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）连接OC．由垂径定理得∠AOC=∠AOB．再由圆周角定理即可得到结论；

(2)延长BO交CD于点F，连接AB．由垂径定理得到CF的长．由∠EBO=∠FBC，∠CFB=∠OEB，得到 △ABE∽△DFC，由相似三角形对应边成比例得到．设BE=，则BF=4n，BC=，由勾股定理得CF=，由2n=4，得到n，BE，

BO，AE的长，由tan∠ADC=tan∠ABE即可得到结论．

（1）连接OC．

∵OA⊥BC，∴弧AC=弧AB，∴∠AOC=∠AOB．

∵∠AOC=2∠ADC，∴∠AOB=2∠ADC ．

(2)延长BO交CD于点F，连接AB．

∵OB⊥CD，∴CF=CD=4．

∵∠EBO=∠FBC，∠CFB=∠OEB，

∴ △ABE∽△DFC，∴．

设BE=，则BF=4n，BC=，

∴CF=，∴2n=4，n=2，∴BE==，

∴BO=5，AE=，∴tan∠ADC=tan∠ABE=．