Question

【题目】如图，已知直线与双曲线（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6．

（1）求双曲线的解析式；

（2）求点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）双曲线的解析式为y=；（2）点C的坐标为（2，4）或（8，1）．

【解析】

(1)根据双曲线上已知点求双曲线解析式，直接代入双曲线上点即可得出双曲线的k；（2）根据题目可以分情况讨论，分别为点C在点A 的上方或者下方，然后进行通过图形分割和组合进行求点C 的位置，具体分割和组合情况见详解.

（1）∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线（k＞0）上，

∴k=﹣4×（﹣2）=8，

∴双曲线的解析式为y=；

（2）根据中心对称性，点A、B关于原点对称，

所以，A（4，2）．

如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，则S△COF=S△AOE=4．

设点C的坐标为（a，），

①如果S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE

=S梯形ACFE

=×（2+）（4﹣a）

=，

∵△AOC的面积为6，

∴=6，

整理得，a2+6a﹣16=0，

解得a1=2，a2=﹣8（舍去），

∴a=2，此时=4，

∴点C的坐标为（2，4）．

②如果S△AOC=S△AOE+S梯形ACFE﹣S△COF

=S梯形ACFE

=×（+2）（a﹣4）

=，

∴=6，

解得：a=8或a=﹣2（舍去）

∴点C的坐标为（8，1）．

综上所述，点C的坐标为（2，4）或（8，1）．