Question

3．如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB．
（1）判断△ABE形状？并说明理由；
（2）若AB=2，AD=3$\sqrt{3}$，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）先根据旋转的性质得出△PAD是等边三角形，进而得出∠PDC=∠PAE=30°，∠DAE=∠DAP-∠PAE=30°，∠BAE=60°，又CD=AB=EA，结论显然；
（2）连接CE，则△CPE是等边三角形，过点E作EF⊥BC于点F，算出EF、BF、CF，进而算出CE，而PE=CE．

解答 解：（1）△ABE是等边三角形，理由如下：
由题意可知∠APD=60°，PA=PD，
∴△PAD是等边三角形，
∴∠DAP=∠PDA=60°，
∴∠PDC=∠PAE=30°，
∴∠DAE=∠DAP-∠PAE=30°，
∴∠PAB=30°，
即∠BAE=60°，
又∵CD=AB=EA，
∴△ABE是等边三角形．
（2）过点E作EF⊥BC于点F，连接CE，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=2，
∠EBA=60°，
∴∠EBC=30°，
在Rt△EBF中，EF=1，FB=$\sqrt{3}$，
∵AD=BC=$3\sqrt{3}$，
∴CF=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CEF中，$CE=\sqrt{C{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵∠CPE=60°，CP=PE，
∴△CPE是等边三角形，PE=CE=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，难度中等．清楚旋转的特征是解答的关键．